A central limit theorem for the variation of the sum of digits
Un théorème central limite pour la variation de la somme des chiffres
Résumé
We prove a Central Limit Theorem for probability measures defined via the variation of the sum-of-digits function, in base b ≥ 2. For r ≥ 0 and d ∈ Z, we consider µ (r) (d) as the density of integers n ∈ N for which the sum of digits increases by d when we add r to n. We give a probabilistic interpretation of µ (r) on the probability space given by the group of b-adic integers equipped with the normalized Haar measure. We split the base-b expansion of the integer r into so-called "blocks", and we consider the asymptotic behaviour of µ (r) as the number of blocks goes to infinity. We show that, up to renormalization, µ (r) converges to the standard normal law as the number of blocks of r grows to infinity. We provide an estimate of the speed of convergence. The proof relies, in particular, on a φ-mixing process defined on the b-adic integers.
Nous démontrons un Théorème Central Limite pour des mesures de probabilité définies via la variation de la fonction somme-des-chiffres, en base b ≥ 2. Pour r ≥ 0 et d ∈ Z, nous considérons µ (r) (d) comme étant la densité des entiers n ∈ N pour lesquels la somme des chiffres augmente de d quand nous ajoutons r à n. Nous donnons une interprétation probabiliste de µ (r) sur l'espace de probabilité donné par le groupe des entiers b-adiques muni de la mesure de Haar renormalisée. Nous décomposons l'écriture en base b de l'entier r en "blocs", et nous considérons le comportement asymptotique de µ (r) quand le nombre de blocs tend vers l'infini. Nous fournissons une estimation de la vitesse de convergence. La preuve repose, en partie, sur des processus φ-mélangeants définis sur les entiers b-adiques.
Origine : Fichiers produits par l'(les) auteur(s)